1º Simulado de Matemática - Petrobras | Transpetro - Banca Cesgranrio

A questão envolve taxas de trabalho (produtividade).

1. Notação:
Vamos identificar as capacidades das duas máquinas por:
\(M_1\): a capacidade da máquina atual
\(M_2\): a capacidade da nova máquina

2. Capacidade atual:
\(M_1\) = 50 cópias/minuto

3. Meta desejada:
Arthur quer 7.500 cópias por hora. Como 1 hora = 60 minutos, a capacidade total necessária em cópias por minuto é:
\[ \frac{7500}{60} = 125 \, \textbf{cópias/minuto.} \] Logo, \(M_1 + M_2 = 125\) cópias por minuto.

4. Capacidade da nova máquina:
Como \(M_1\) = 50, então:
\[ M_2 = 125 - M_1 \] \[ M_2 = 125 - 50 \] \[ M_2 = 75 \]

Portanto, a resposta correta é a alternativa E.

1. Notação:
Vamos identificar os filhos mais velho, do meio e mais novo de 1, 2 e 3.

As quantidades de balas \(\textbf{(b)}\) e de chocolates \(\textbf{(c)}\) de cada filho por:

- \(b_1, b_2, b_3\) representam as quantidades de balas de cada filho;
- \(c_1, c_2, c_3\) representam as quantidades de chocolates de cada filho;

2. Traduções do enunciado

\(\textbf{2.1}\) Maria comprou 30 balas e 18 chocolates. \[ b_1 + b_2 + b_3 = 30 \to (1) \] \[ c_1 + c_2 + c_3 = 18 \to (2) \] \(\textbf{2.2}\) O filho mais velho recebeu igual número de balas e chocolates \[ b_1 = c_1 \] \(\textbf{2.3}\) O filho do meio ganhou 5 balas a mais do que chocolates \[ b_2 = c_2 + 5 \] \(\textbf{2.4}\) O número de balas que o filho caçula ganhou correspondeu ao dobro do número de chocolates. \[ b_3 = 2 \cdot c_3 \] \(\textbf{2.5}\) Os dois filhos mais novos de Maria ganharam a mesma quantidade de chocolates \[ c_3 = c_2 = x \to (3) \] Observe que agora temos que: \[ b_2 = x + 5 \,\, e \,\, b_3 = 2 \cdot x \]

3. Vamos reduzir as incógnitas!
Substituindo a relação \(\textbf{(3)}\) na equação \(\textbf{(2)}\), temos:
\[ c_1 + x + x = 18 ⇒ c_1 = 18 \,– 2x \to (4) \]

4. Vamos usar o total de balas
Sabemos de (1) que: \[ b_1 + b_2 + b_3 = 30 \] Já temos os valores de \(b_1, b_2, b_3\) em função de \(x\). Vamos substituílos. \[ (18 – 2x) + (x + 5) + 2x = 30 \] \[ 23 + x = 30 ⇒ x = 30 \,\,– \,\, 23 ⇒ x = 7 \]

5. Encontrando a quantidade de balas do filho mais velho
Substituindo \(x = 7\) na relação (4). \[ c_1 = b_1 = 18 \,\, – \,\, 2x ⇒ b_1 = 18 \,\, – \,\, 2 \cdot 7 = 18 \,\, – \,\, 14 = 4 \]

Portanto, o filho mais velho recebeu 4 balas e a resposta correta é a alternativa A.

1. Notação:

\(\textbf{f =}\) tempo de ligação para telefone fixo
\(\textbf{c =}\) tempo de ligação para celulares

2. A razão dada é 3 : 8.
Isso significa que, a cada 3 minutos de ligações para telefones fixos, temos 8 minutos de ligações para telefones celulares.
\[ \frac{\text{f}}{\text{c}} = \frac{3}{8} \] Assim, \(\textbf{f é proporcional a 3}\) e \(\textbf{c é proporcional a 8}\). Traduzindo, temos que: \[ \textbf{f =} \,\, 3 \cdot k \,\, \to \,\, (1) \] \[ \textbf{c =} \,\, 8 \cdot k \,\, \to \,\, (2) \]

3. O total de minutos gastos foi 264.
Sabemos que: \[ \textbf{f + c} = 264 \,\, \to \,\, (3) \] Substituindo \(\textbf{(1)}\) e \(\textbf{(2)}\) em \(\textbf{(3)}\) temos: \[ 3 \cdot k + 8 \cdot k = 264 \] \[ 11 \cdot k = 264 \] \[ k = \frac{264}{11} = 24 \] 4. Como as ligações para celular é proporcional a 8 partes, temos: \[ c = 8 \cdot 24 = 192 min \] Portanto, o tempo de ligações para celulares foi de 192 min e a resposta correta é a alternativa E.

1. Notação:
Vamos organizzar os diversos tipos de preço do enunciado:

\(P_{venda} \,\, \to \,\, \) Preço de etiqueta
\(P_{final} \,\, \to \,\, \) Preço de venda com desconto
\(P_{custo} \,\, \to \,\, \) Preço que o logista pagou na compra para revenda

2. Preço da etiqueta (preço de venda sem desconto):

\(P_{venda}\) = \(R\$ \,\, 2.062{,}50\)

3. Preço de venda com desconto de 20% sobre o preço de etiqueta:

\(P_{final} = 80\% \,\, \text{de} \,\, P_{venda}\)

\(P_{final} = 80\% \,\, \cdot \,\, R\$ \,\, 2.062{,}50\)

\(P_{final} = 0{,}80 \,\, \cdot \,\, 2.062{,}50\)

\(P_{final} = 1.650{,}00\)

4. Esse valor final é 10% acima do preço de custo (Pc):

\(P_{final} = 110\% \,\, \text{de} \,\, P_{custo}\)

\(1.650{,}00 = 1{,}10\,\, \cdot \,\, P_{custo}\)

\(P_{custo} = \frac{1.650}{1,10} = 1500\)

Portanto, o preço de custo é \(R\$ \,\, 1.500{,}00\) \(\textbf{(alternativa D).}\)

1. Ilustração.
Na figura abaixo temos uma ilustração do recipiente \(\textbf{(Antes)}\) e de como se deu o processor de transferência de parte do líquido do recipiente para o cubo como você pode ver na figura \(\textbf{(Depois).}\)

Como você vê na figura acima, o líquido \(V_T\) que foi transferido para o cubo representava, no recipiente original, uma coluna líquida \( \textbf{destacada em azul} \) na forma de paralelepípedo com as mesma dimensões de base \( \textbf{5 \(\,\) cm \(\times\) 8 \(\,\) cm}\) que o recipiente original e altura \(\Delta H\).

2. Volume transferido (igual ao volume do cubo).
Vamos calcular o volume transferido: \[ V_T = A_{base} \cdot \Delta H \,\,\, \to \,\,\, \textbf{(1)} \] Precisamos dos valores de \(A_{base}\) e \(\Delta H\):

\(A_{base}\) = 5 \(\cdot\) 8 = 40 \(cm^2\).
\(\Delta H = H_{1} - H_{2} = 12,0 – 10,4 = 1,6 \, cm\)
Substituindo os valores encontrados em \(\textbf{(1)}\), temos:
\[ V_T = A_{base} \cdot \Delta H = 40 \cdot 1,6 = 64 \, cm^3 \]

3. Volume do Cubo:
Seja \(a\) a aresta do cubo e sabendo que o volume transferido corresponde ao volume do cubo temos.

\(V_{cubo}\) = \(a^3\)
\(V_T = 64 \, cm^3\)

Logo, \[ V_{cubo} = V_T \] \[ a^3 = 64 \] \[ a = \sqrt[3]{64} \] \[ a = \sqrt[3]{4^3} \] \[ a = 4 \, cm \]

Portanto, a aresta do cubo mede 4 cm \(\textbf{(alternativa B).}\)

1. Número total de funcionárias:
A loja tem 8 funcionárias ao todo.

2. Restrições:
Como Diana e Sandra não podem ser escolhidas, restam 6 funcionárias disponíveis para o gerente escolher.

3. Escolha de 2 funcionárias:
O gerente deve escolher 2 funcionárias dentre as 6 disponíveis. Como a ordem não importa, utilizamos a fórmula de combinação:
\[ C_{\text{n,p}} = \frac{n!}{p! \cdot (n- p)!} \]

Onde:

\(\textbf{n}\) é o número total de opções (6 funcionárias disponíveis),
\(\textbf{p}\) é o número de escolhas (2 funcionárias).

Substituindo na fórmula: \[ C_{\text{6,2}} = \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!} \] \[ C_{\text{6,2}} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \] \[ C_{\text{6,2}} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} \] \[ C_{\text{6,2}} = \frac{30}{2} = 15 \] Portanto, o número de formas distintas de escolher 2 funcionárias entre as 6 disponíveis é 15.

1. Informações da questão:
- O gráfico intersecta o eixo y no ponto (0, 9), ou seja, f(0) = 9.
- As raízes da função quadrática são \(x_1 = -2\) e \(x_2 = 13\), o que significa que podemos expressar a função quadrática na forma fatorada: \[ f(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 13)\,\, \to \,\, (1) \] Onde \(a\) é um coeficiente que ainda precisamos determinar.

2. Determinação do valor de a:
Sabemos que a parábola intercepta o eixo y em (0, 9). Então, substituímos x = 0 e f(0) = 9 na equação (1), temos:
\[ 9 = a \cdot (0 + 2) \cdot (0 - 13) \] \[ 9 = a \cdot 2 \cdot (-13) \] \[ 9 = -26 \cdot a \] \[ a = \frac{-9}{26} \] Agora vamos substituir o valor de a na equação (1):
\[ f(x) = \frac{-9}{26} \cdot (x + 2) \cdot (x - 13) \,\,\, \to \,\,\, (2) \]

3. Encontrando o valor de k para x = 11:
Agora que sabemos que tesmo as equação da parábola, podemos substituir esse valor na equação da função quadrática em (2) podemos determinear o valor de k substituindo quando \(x = 11\) na equação (2). \[ f(11) = \frac{-9}{26} \cdot (11 + 2) \cdot (11 - 13) \] \[ f(11) = \frac{-9}{26} \cdot (13) \cdot (-2) \] \[ f(11) = \frac{-9}{26} \cdot (-26) \] \[ f(11) = 9 \]

Logo, o valor de k para P(11, k) é 9.

1. Informações fornecidas:
- O quadrilátero RAMP pode ser dividido em duas duas partes triangulares. O triangulo RAP \(\textbf{(figura 1)}\) e o triângulo AMP \(\textbf{(figura 2)}\) conforme figura abaixo.

- O triângulo RAP é um triângulo retângulo.
- A área total do quadrilátero RAMP = 105 cm².

Logo, \[ A_{RAMP} = A_{RAP} + A_{AMP} \,\,\, \to \,\,\, \textbf{(1)} \]

2. Calculando a área do triângulo RAP:
O triangulo RAP \(\textbf{(figura 1)}\) é retângulo, então sua área pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo retângulo:

\[ A_{RAP} = \frac{\overline{\textbf{PR}} \,\, \times \,\, \overline{\textbf{RA}}}{2} = \frac{6\, cm \times 16\, cm}{2} = \frac{96 \, cm^2}{2} = 48\, cm^2 \]

3. Calculando a área do triângulo AMP:
Sabemos que:
\(A_{RAMP} = 105\,\, cm^2\)
\(A_{RAP} = 48 \,\, cm^2\)
Substituindo esse valores em \(\textbf{(1)}\), temos: \[ 105 = 48 + A_{AMP} \] \[ A_{AMP} = 105 - 48 \] \[ A_{AMP} = 57 \,\, cm^2 \] Logo, a área do triângulo AMP é de 57 cm² e a \(\textbf{alternativa C)}\) é o gabarito da questão.

1. Fórmula dada:
A fórmula que relaciona a magnitude \(M(x)\) com a energia \(x\) é:

\[ M(x) = \frac{\left( \log_{10} x \right) - 1{,}44}{1{,}5} \]

2. Vamos \(x = 100^3\) na fórmula:
Antes perceba que: \[ 100^3 = \left( 10^{2} \right)^3 = 10^6 \] Então, \[ M(x) = \frac{\left( \log_{10} 10^6 \right) - 1{,}44}{1{,}5} \] Sabemos que: \(\log_{10} \left( 10^6 \right) = 6\)

Agora, substituímos esse valor na fórmula:

\[ M\left( 10^6 \right) = \frac{6 - 1,44}{1,5} \] \[ M\left( 10^6 \right) = \frac{4,56}{1,5} \] \[ M\left( 10^6 \right) = 3,04 \]

Portanto, a magnitude M é 3,04 \(\textbf{(alternativa C)}\).

1. Número total de homens:
- Setor de Produção: 32 homens
- Setor Administrativo: 17 homens
\(\textbf{Total de homens = 32 + 17 = 49}\)

2. Número total de mulheres:
- Setor de Produção: 15 mulheres
- Setor Administrativo: 8 mulheres
\(\textbf{Total de mulheres = 15 + 8 = 23}\)

3. Calculando a diferença:
A diferença entre o número de homens e mulheres é:
\(\textbf{49 - 23 = 26 homens a mais do que mulheres}\)

4. Calculando o percentual:
Agora, para calcular o percentual de diferença em relação ao número de mulheres, usamos a fórmula da porcentagem:

\[ \textbf{Percentual de diferença} = \frac{26}{23} \times 100 \simeq 113\% \]

Portanto, o número total de homens é superior ao total de mulheres em aproximadamente 113% \(\textbf{(alternativa E)}\).