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Questão 1
(FGV-2023|NS) - (Prefeitura Municipal de São Paulo - Cargo Professor de Matemática)
Considere o seguinte experimento aleatório: de uma caixa contendo 5 bolas verdes e 5 bolas laranjas, retiram-se em sequência e sem reposição 3 bolas da caixa, observando-se, a cada retirada, a cor da bola. O número de elementos do espaço amostral dessa experiência é:
Considere o seguinte experimento aleatório: de uma caixa contendo 5 bolas verdes e 5 bolas laranjas, retiram-se em sequência e sem reposição 3 bolas da caixa, observando-se, a cada retirada, a cor da bola. O número de elementos do espaço amostral dessa experiência é:
🎓 Dica do Professor:
Não identifique as bolas individualmente. O experimento observa apenas a cor em cada retirada (verde ou laranja). Como são 3 retiradas sem reposição e há pelo menos 3 de cada cor disponível, pense nas sequências de cores possíveis.
Não identifique as bolas individualmente. O experimento observa apenas a cor em cada retirada (verde ou laranja). Como são 3 retiradas sem reposição e há pelo menos 3 de cada cor disponível, pense nas sequências de cores possíveis.
Vídeo gabarito:
Questão 2
(FGV-2022-NS) - (Tribunal Regional do Trabalho da 13ª Região)
Considere o lançamento aleatório de dois dados honestos. Se X é a variável aleatória que calcula o módulo da diferença entre os dois números obtidos, então o valor mais provável de X é igual a:
Considere o lançamento aleatório de dois dados honestos. Se X é a variável aleatória que calcula o módulo da diferença entre os dois números obtidos, então o valor mais provável de X é igual a:
🎓 Dica do Professor:
Conte pares ordenados $(a,b)$ com $a,b\in\{1,\dots,6\}$.
Para cada $k\ge 0$, determine quantos pares satisfazem $|a-b|=k$.
Lembre que $(a,b)$ e $(b,a)$ são resultados diferentes.
Conte pares ordenados $(a,b)$ com $a,b\in\{1,\dots,6\}$.
Para cada $k\ge 0$, determine quantos pares satisfazem $|a-b|=k$.
Lembre que $(a,b)$ e $(b,a)$ são resultados diferentes.
Comentário do professor:
Comentário detalhado:
O espaço amostral tem $6\times6=36$ pares ordenados $(a,b)$.
Contagens por $X=|a-b|$:
\[ \begin{aligned} X=0:\ & (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\quad (6\text{ casos}),\\ X=1:\ & (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\ \text{ e inversos }(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)\quad (10\text{ casos}),\\ X=2:\ & (1,3),(2,4),(3,5),(4,6)\ \text{ e inversos}\quad (8\text{ casos}),\\ X=3:\ & (1,4),(2,5),(3,6)\ \text{ e inversos}\quad (6\text{ casos}),\\ X=4:\ & (1,5),(2,6)\ \text{ e inversos}\quad (4\text{ casos}),\\ X=5:\ & (1,6),(6,1)\quad (2\text{ casos}). \end{aligned} \] As probabilidades são $P(X=k)=N(k)/36$, com \[ N(0)=6,\ N(1)=10,\ N(2)=8,\ N(3)=6,\ N(4)=4,\ N(5)=2. \] O maior valor de $N(k)$ é $N(1)=10$, portanto o valor mais provável de $X$ é $1$.
Comentário detalhado:
O espaço amostral tem $6\times6=36$ pares ordenados $(a,b)$.
Contagens por $X=|a-b|$:
\[ \begin{aligned} X=0:\ & (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\quad (6\text{ casos}),\\ X=1:\ & (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\ \text{ e inversos }(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)\quad (10\text{ casos}),\\ X=2:\ & (1,3),(2,4),(3,5),(4,6)\ \text{ e inversos}\quad (8\text{ casos}),\\ X=3:\ & (1,4),(2,5),(3,6)\ \text{ e inversos}\quad (6\text{ casos}),\\ X=4:\ & (1,5),(2,6)\ \text{ e inversos}\quad (4\text{ casos}),\\ X=5:\ & (1,6),(6,1)\quad (2\text{ casos}). \end{aligned} \] As probabilidades são $P(X=k)=N(k)/36$, com \[ N(0)=6,\ N(1)=10,\ N(2)=8,\ N(3)=6,\ N(4)=4,\ N(5)=2. \] O maior valor de $N(k)$ é $N(1)=10$, portanto o valor mais provável de $X$ é $1$.
Vídeo gabarito:
Questão 3
(FGV-2019|NM) - (Prefeitura Municipal de Angra dos Reis)
Uma pesquisa feita com os alunos de uma sala mostrou que 7 alunos torcem pelo Flamengo, 6 pelo Vasco, 5 pelo Fluminense, 4 pelo Botafogo e 3 não torcem por time nenhum. Escolhendo ao acaso um dos alunos dessa turma, a probabilidade de que ele seja torcedor do Vasco é de
Uma pesquisa feita com os alunos de uma sala mostrou que 7 alunos torcem pelo Flamengo, 6 pelo Vasco, 5 pelo Fluminense, 4 pelo Botafogo e 3 não torcem por time nenhum. Escolhendo ao acaso um dos alunos dessa turma, a probabilidade de que ele seja torcedor do Vasco é de
🎓 Dica do Professor:
Quando falamos em probabilidade, usamos sempre a ideia de:
\[ P(E) = \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos possíveis}} \]
Aqui, o "caso favorável" é ser torcedor do Vasco. Cuidado: o total de alunos da sala inclui também os que não torcem por time algum.
Quando falamos em probabilidade, usamos sempre a ideia de:
\[ P(E) = \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos possíveis}} \]
Aqui, o "caso favorável" é ser torcedor do Vasco. Cuidado: o total de alunos da sala inclui também os que não torcem por time algum.
Comentário do professor:
A questão exige apenas a aplicação direta do conceito de probabilidade clássica.
1. Total de alunos da sala
Primeiro, calculamos o total de alunos:
\[ 7\text{(Flamengo)} + 6\text{ (Vasco)} + 5\text{ (Fluminense)} + 4\text{ (Botafogo)} + 3\text{ (nenhum)} = 25 \]
2. Número de casos favoráveis (torcedores do Vasco):
\[ 6 \]
Logo:
\[ P(\text{Vasco}) = \frac{6}{25} = \frac{6}{25} \cdot 100\% = 24\% \]
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
A questão exige apenas a aplicação direta do conceito de probabilidade clássica.
1. Total de alunos da sala
Primeiro, calculamos o total de alunos:
\[ 7\text{(Flamengo)} + 6\text{ (Vasco)} + 5\text{ (Fluminense)} + 4\text{ (Botafogo)} + 3\text{ (nenhum)} = 25 \]
2. Número de casos favoráveis (torcedores do Vasco):
\[ 6 \]
Logo:
\[ P(\text{Vasco}) = \frac{6}{25} = \frac{6}{25} \cdot 100\% = 24\% \]
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
Vídeo gabarito:
Questão 4
(FGV-2022|NS) - (MPE SC)
Há evidências de que uma alta pressão sanguínea esteja associada a um aumento de óbitos por problemas cardiovasculares. Em um estudo foram examinados 3.000 homens com alta pressão sanguínea e 2.400 homens com baixa pressão. Durante o período do estudo, 12 homens do grupo de baixa pressão e 30 do grupo de alta pressão faleceram por problemas cardiovasculares. A chance de morrer de problemas cardiovasculares no grupo de alta pressão é dada, aproximadamente, por:
Há evidências de que uma alta pressão sanguínea esteja associada a um aumento de óbitos por problemas cardiovasculares. Em um estudo foram examinados 3.000 homens com alta pressão sanguínea e 2.400 homens com baixa pressão. Durante o período do estudo, 12 homens do grupo de baixa pressão e 30 do grupo de alta pressão faleceram por problemas cardiovasculares. A chance de morrer de problemas cardiovasculares no grupo de alta pressão é dada, aproximadamente, por:
🎓 Dica do Professor:
Probabilidade em estudos estatísticos é sempre a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de indivíduos do grupo analisado.
Aqui, estamos interessados apenas no grupo de alta pressão:
\[ P(\text{morte | alta pressão}) = \frac{\text{número de mortes no grupo de alta pressão}}{\text{total de indivíduos no grupo de alta pressão}} \]
Probabilidade em estudos estatísticos é sempre a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de indivíduos do grupo analisado.
Aqui, estamos interessados apenas no grupo de alta pressão:
\[ P(\text{morte | alta pressão}) = \frac{\text{número de mortes no grupo de alta pressão}}{\text{total de indivíduos no grupo de alta pressão}} \]
Comentário do professor:
Comentário passo a passo:
O exercício pede a chance de morte apenas entre os homens com alta pressão. Assim, o espaço amostral é apenas esse grupo (3000 homens).
Entre eles, 30 faleceram. Logo:
\[ P = \frac{30}{3000} = 0,01 \]
Isso significa que aproximadamente 1% dos homens com alta pressão morreram por problemas cardiovasculares.
Portanto, a alternativa correta é a letra B.
Comentário passo a passo:
O exercício pede a chance de morte apenas entre os homens com alta pressão. Assim, o espaço amostral é apenas esse grupo (3000 homens).
Entre eles, 30 faleceram. Logo:
\[ P = \frac{30}{3000} = 0,01 \]
Isso significa que aproximadamente 1% dos homens com alta pressão morreram por problemas cardiovasculares.
Portanto, a alternativa correta é a letra B.
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Questão 5
(FGV-2025|NM) - (SSP AM)
As idades das pessoas que trabalham em certa empresa estão distribuídas em faixas como mostra a tabela a seguir:
Faixa de Idade | Número de Pessoas
De 20 até 29 anos | 12
De 30 até 39 anos | 20
De 40 até 49 anos | 34
Com 50 anos ou mais | 14
Se uma dessas pessoas for escolhida ao acaso, a probabilidade de que tenha menos de 40 anos é:
As idades das pessoas que trabalham em certa empresa estão distribuídas em faixas como mostra a tabela a seguir:
Faixa de Idade | Número de Pessoas
De 20 até 29 anos | 12
De 30 até 39 anos | 20
De 40 até 49 anos | 34
Com 50 anos ou mais | 14
Se uma dessas pessoas for escolhida ao acaso, a probabilidade de que tenha menos de 40 anos é:
🎓 Dica do Professor:
Quando a questão traz uma tabela de frequências, basta somar os casos que interessam e dividir pelo total de casos.
Aqui, "menos de 40 anos" significa considerar as duas primeiras faixas: 20 a 29 e 30 a 39 anos.
Quando a questão traz uma tabela de frequências, basta somar os casos que interessam e dividir pelo total de casos.
Aqui, "menos de 40 anos" significa considerar as duas primeiras faixas: 20 a 29 e 30 a 39 anos.
Comentário do professor:
1. O total de pessoas na empresa é:
\[ 12 + 20 + 34 + 14 = 80. \]
2. O número de pessoas com menos de 40 anos é:
\[ 12 + 20 = 32. \]
3. A probabilidade procurada é:
\[ P = \frac{32}{80} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%. \]
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
1. O total de pessoas na empresa é:
\[ 12 + 20 + 34 + 14 = 80. \]
2. O número de pessoas com menos de 40 anos é:
\[ 12 + 20 = 32. \]
3. A probabilidade procurada é:
\[ P = \frac{32}{80} = \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%. \]
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
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Questão 6
(FGV-2021|NM) - (IMBEL)
O dia 01 de abril de 2022 cairá em uma sexta-feira. Escolhe-se ao acaso um dia desse mês. A probabilidade de que esse dia seja um sábado ou um domingo é de:
O dia 01 de abril de 2022 cairá em uma sexta-feira. Escolhe-se ao acaso um dia desse mês. A probabilidade de que esse dia seja um sábado ou um domingo é de:
🎓 Dica do Professor:
Use o fato de que 01/04/2022 é sexta-feira para montar rapidamente o calendário dos fins de semana de abril. Conte quantos sábados e domingos há no mês (abril tem 30 dias). Uma forma ágil: conte semanas completas e, depois, os dias restantes.
Use o fato de que 01/04/2022 é sexta-feira para montar rapidamente o calendário dos fins de semana de abril. Conte quantos sábados e domingos há no mês (abril tem 30 dias). Uma forma ágil: conte semanas completas e, depois, os dias restantes.
Comentário do professor:
A FGV costuma verificar se o candidato sabe propagar dias da semana ao longo do mês.
Como abril tem 30 dias, a distribuição dos dias da semana se repete a cada 7 dias, com
4 semanas completas (28 dias) e 2 dias sobrando.
Partindo de sexta-feira (dia 1), os próximos dias são: sábado (2), domingo (3), segunda (4), ...
Em 30 dias:
Logo,
\[ \mathbb{P}(\text{sábado ou domingo})=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}. \]
Dica de prova: quando o enunciado informa o dia da semana do dia 1º,
quase sempre dá para contar por blocos de 7 e completar com os dias restantes — rápido e sem erro.
A FGV costuma verificar se o candidato sabe propagar dias da semana ao longo do mês.
Como abril tem 30 dias, a distribuição dos dias da semana se repete a cada 7 dias, com
4 semanas completas (28 dias) e 2 dias sobrando.
Partindo de sexta-feira (dia 1), os próximos dias são: sábado (2), domingo (3), segunda (4), ...
Em 30 dias:
- Os sábados ocorrem nos dias 2, 9, 16, 23, 30 ⇒ 5 ocorrências.
- Os domingos ocorrem nos dias 3, 10, 17, 24 ⇒ 4 ocorrências.
Logo,
\[ \mathbb{P}(\text{sábado ou domingo})=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}. \]
Dica de prova: quando o enunciado informa o dia da semana do dia 1º,
quase sempre dá para contar por blocos de 7 e completar com os dias restantes — rápido e sem erro.
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Questão 7
(FGV-2017|NS) - (IBGE)
Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso e o produto deles dois é calculado. A probabilidade desse produto ser um número par é:
Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso e o produto deles dois é calculado. A probabilidade desse produto ser um número par é:
🎓 Dica do Professor:
Sempre que aparecer "probabilidade de o produto ser par", pense:
→ O produto é par sempre que pelo menos um dos fatores for par.
→ Em vez de contar todos os casos pares, pode ser mais fácil contar os casos em que o produto é ímpar, isto é, quando ambos os fatores são ímpares.
Sempre que aparecer "probabilidade de o produto ser par", pense:
→ O produto é par sempre que pelo menos um dos fatores for par.
→ Em vez de contar todos os casos pares, pode ser mais fácil contar os casos em que o produto é ímpar, isto é, quando ambos os fatores são ímpares.
Comentário do professor:
O produto de dois números só será ímpar se ambos forem ímpares.
No conjunto {2,3,4,5,6} apenas 3 e 5 são ímpares, portanto existe apenas uma dupla ímpar: (3,5).
Como o número total de escolhas é C(5,2)=10, temos:
\[ \text{Casos pares} = 10 - 1 = 9. \]
Assim, a probabilidade de o produto ser par é:
\[ \mathbb{P}(\text{produto par})=\frac{9}{10}=90\%. \]
Observação: em questões da FGV, o uso do caso complementar (contar os ímpares) costuma ser mais rápido e eficiente.
O produto de dois números só será ímpar se ambos forem ímpares.
No conjunto {2,3,4,5,6} apenas 3 e 5 são ímpares, portanto existe apenas uma dupla ímpar: (3,5).
Como o número total de escolhas é C(5,2)=10, temos:
\[ \text{Casos pares} = 10 - 1 = 9. \]
Assim, a probabilidade de o produto ser par é:
\[ \mathbb{P}(\text{produto par})=\frac{9}{10}=90\%. \]
Observação: em questões da FGV, o uso do caso complementar (contar os ímpares) costuma ser mais rápido e eficiente.
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Questão 8
(FGV-2019|NS) - (Prefeitura Municipal de Angra dos Reis)
Peter é um ótimo lançador de dardos. A cada lançamento, a probabilidade de Peter acertar o alvo é de 90% e independe de Peter ter acertado ou não o alvo em lançamentos anteriores. Após fazer dois lançamentos em sequência, a probabilidade de Peter ter acertado o alvo nos dois lançamentos é de:
Peter é um ótimo lançador de dardos. A cada lançamento, a probabilidade de Peter acertar o alvo é de 90% e independe de Peter ter acertado ou não o alvo em lançamentos anteriores. Após fazer dois lançamentos em sequência, a probabilidade de Peter ter acertado o alvo nos dois lançamentos é de:
🎓 Dica do Professor:
Quando a questão informa que os lançamentos são independentes, devemos
multiplicar as probabilidades dos eventos. Assim,
\[ P(\text{acertar os dois}) = P(\text{acertar no 1º}) \times P(\text{acertar no 2º}). \]
Quando a questão informa que os lançamentos são independentes, devemos
multiplicar as probabilidades dos eventos. Assim,
\[ P(\text{acertar os dois}) = P(\text{acertar no 1º}) \times P(\text{acertar no 2º}). \]
Comentário do professor:
Comentário passo a passo.
A probabilidade de acerto em um único lançamento é 0,9 (ou 90%).
Como os lançamentos são independentes, a chance de acerto nos dois lançamentos é:
\[ P(\text{2 acertos}) = 0,9 \times 0,9 = 0,81. \]
Convertendo para porcentagem:
\[ 0,81 = 81\%. \]
Portanto, a probabilidade de Peter acertar os dois lançamentos é de 81%.
Observação: cuidado para não somar as probabilidades, pois a soma (0,9 + 0,9 = 1,8) gera um valor impossível (180%). Em eventos independentes, a regra correta é multiplicar.
Comentário passo a passo.
A probabilidade de acerto em um único lançamento é 0,9 (ou 90%).
Como os lançamentos são independentes, a chance de acerto nos dois lançamentos é:
\[ P(\text{2 acertos}) = 0,9 \times 0,9 = 0,81. \]
Convertendo para porcentagem:
\[ 0,81 = 81\%. \]
Portanto, a probabilidade de Peter acertar os dois lançamentos é de 81%.
Observação: cuidado para não somar as probabilidades, pois a soma (0,9 + 0,9 = 1,8) gera um valor impossível (180%). Em eventos independentes, a regra correta é multiplicar.
Vídeo gabarito:
Questão 9
(FGV-2018|NM) - (Assembleia Legislativa de Rondônia)
Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 cartões da caixa. A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de:
Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 cartões da caixa. A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de:
🎓 Dica do Professor.
Quando retiramos dois cartões sem reposição, podemos usar combinações:
\[ P(\text{2 vermelhos}) = \frac{\binom{\text{nº de vermelhos}}{2}}{\binom{\text{total de cartões}}{2}} \]
ou calcular multiplicando as probabilidades ajustadas a cada retirada.
Quando retiramos dois cartões sem reposição, podemos usar combinações:
\[ P(\text{2 vermelhos}) = \frac{\binom{\text{nº de vermelhos}}{2}}{\binom{\text{total de cartões}}{2}} \]
ou calcular multiplicando as probabilidades ajustadas a cada retirada.
Vamos usar a multiplicaçao de probabilidade condicional.
Primeira retirada: 6/10 = 3/5.
Segunda retirada: 5/9.
Assim,
\[ P = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}. \]
Portanto, a probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é
\[ \frac{1}{3}. \]
Primeira retirada: 6/10 = 3/5.
Segunda retirada: 5/9.
Assim,
\[ P = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}. \]
Portanto, a probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é
\[ \frac{1}{3}. \]
Vídeo gabarito:
Questão 10
(FGV-2028|NS) - (SEPOG RO)
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é:
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é:
🎓 Dica do Professor.
Quando o sorteio envolve grupos, a probabilidade de os dois pertencerem ao mesmo
departamento pode ser calculada por:
\[ P(\text{mesmo departamento}) = \frac{\text{nº de formas de escolher 2 do mesmo grupo}}{\text{nº total de formas de escolher 2 candidatos}}. \]
Quando o sorteio envolve grupos, a probabilidade de os dois pertencerem ao mesmo
departamento pode ser calculada por:
\[ P(\text{mesmo departamento}) = \frac{\text{nº de formas de escolher 2 do mesmo grupo}}{\text{nº total de formas de escolher 2 candidatos}}. \]
O número total de formas de escolher 2 entre 4 funcionários é:
\[
C(4,2) = 6.
\]
Casos favoráveis:
\[ C(2,2) (\text{ambos do A}) + C(2,2) (\text{ambos do B}) = 1 + 1 = 2. \]
Assim, a probabilidade é:
\[ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
Portanto, a chance de os dois funcionários pertencerem ao mesmo departamento é de
\[ \frac{1}{3}. \]
\[ C(2,2) (\text{ambos do A}) + C(2,2) (\text{ambos do B}) = 1 + 1 = 2. \]
Assim, a probabilidade é:
\[ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
Portanto, a chance de os dois funcionários pertencerem ao mesmo departamento é de
\[ \frac{1}{3}. \]
Vídeo gabarito:
Como há 5 bolas de cada cor, sequências como VVV ou LLL são viáveis, de modo que não há restrição adicional.
Há 2 possibilidades para a primeira bola (verde ou laranja), 2 para a segunda e 2 para a terceira. Multiplicando, obtemos o total de resultados possíveis:
Pela regra do produto, o número de sequências é
\[ n(E) = 2 × 2 × 2 = 2^{3} = 8. \] Portanto, o espaço amostral possui 8 elementos.