Como temos 3 pessoas que vão sentar-se lado a lado, eles só podem se sentar na fileira horizontal central e, há apenas 2 casos possíveis como você pode observar na figura abaixo:

Em cada um dos casos as 3 pessoas podem permutar entre si, de forma que para cada uma dos casos, temos:

\[ P_{3} = 3! = 3 \cdot 2\cdot 1 = 6 \]

Logo, Marcelo, Joana e Clara podem optar pelas carteiras do caso 1 ou caso 2 tendo, em cada caso, 6 possibilidades resultando em um total de:

\[ 2 \times 6 = 12 \text{ possibilidades} \]

Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

1. Identificação das Informações e Definição de Variáveis:
- O preço original do aparelho é \( p \) reais.
- Plano 1 (Lucas): Desconto de 15%, preço pago \( = p - 0,15p = 0,85p \).
- Plano 2 (Gabriel): Desconto de 40%, preço pago \( = p - 0,40p = 0,60p \).
- Plano 3 (Carlos): Desconto de 80%, preço pago \( = p - 0,80p = 0,20p \).

2. Diferença entre o preço pago por Gabriel e Lucas:
A questão nos diz que Gabriel pagou R$ 120 a menos que Lucas. Isso implica que:
\[ 0,85p - 0,60p = 120 \]
Simplificando:
\[ 0,25p = 120 \]
Logo, o preço original do aparelho é:
\[ p = \frac{120}{0,25} = 480 \]

3. Cálculo do Desconto de Carlos:
Agora que sabemos que o preço original do aparelho é \( p = 480 \) reais, podemos calcular o valor que Carlos pagou, aplicando o desconto de 80%:
O preço pago por Carlos é:
\[ 0,20 \times 480 = 96 \]
Portanto, o desconto obtido por Carlos foi:
\[ 480 - 96 = 384 \]

Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

Passo 1: Definir a Progressão (P.A.)
Seja:
- \(a_1\): o valor do primeiro depósito (o que queremos encontrar).
- \(r = 15\): a razão da P.A. (aumento mensal).
- \(n = 12\): o número total de meses (termos).

Passo 2: Escrever os termos dos dois últimos meses
Usando a fórmula do termo geral de uma P.A., \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\):
11º mês (penúltimo): \( a_{11} = a_1 + (11-1) \cdot 15 = a_1 + 10 \cdot 15 = a_1 + 150 \)
12º mês (último): \( a_{12} = a_1 + (12-1) \cdot 15 = a_1 + 11 \cdot 15 = a_1 + 165 \)

Passo 3: Montar a equação com a informação do problema e determinar a_1
A soma dos dois últimos meses é R$ 525,00:
\[ a_{11} + a_{12} = 525 \]
\[ (a_1 + 150) + (a_1 + 165) = 525 \]
\[ 2 \cdot a_1 + 315 = 525 \]
\[ 2 \cdot a_1 = 525 - 315 \]
\[ 2 \cdot a_1 = 210 \]
\[ a_1 = \frac{210}{2} = 105 \]

Portanto, Eduardo depositou R$ 105,00 no primeiro mês. Gabarito: B

Passo 1: Definir as variáveis
Sejam:
- \(G\): número de garfos
- \(F\): número de facas
- \(C\): número de colheres

Passo 2: Montar o sistema de equações
Do enunciado, temos:
(1) \( G + F + C = 48 \) (Total de talheres)
(2) \( G + F = 2C \) (Soma de garfos e facas é o dobro das colheres)
(3) \( F + 6 = C \) (Com mais 6 facas, facas igualam às colheres)

Passo 3: Resolver o sistema
Substituindo a equação (3) na equação (2):
\[ G + F = 2(F + 6) \]
\[ G + F = 2F + 12 \]
\[ G = F + 12 \quad \text{(4)} \]

Agora, substitua a equação (3) e a equação (4) na equação (1):
\[ (F + 12) + F + (F + 6) = 48 \]
\[ 3F + 18 = 48 \]
\[ 3F = 30 \]
\[ F = 10 \]

Passo 4: Encontrar o número de garfos (\(G\))
Substituindo \(F = 10\) na equação (4):
\[ G = 10 + 12 \]
\[ G = 22 \]

Portanto, há 22 garfos na gaveta. Gabarito: E

A equação dada é:
\[ \left[ \log \left( x \right) \right]^2 - \log \left( x^2 \right) - 3 = 0 \]

Passo 1: Simplificar \(\log(x^2)\) utilizando a propriedade dos logaritmos:
\[ \log(x^2) = 2 \cdot \log(x) \]
Substituindo na equação, temos:
\[ \left[ \log(x) \right]^2 - 2 \cdot \log(x) - 3 = 0 \]

Passo 2: Substituir \( y = \log(x) \):
\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]

Passo 3: Resolver a equação quadrática \( y^2 - 2y - 3 = 0 \) utilizando a fórmula de Bhaskara:
\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \]
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]
\[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ y = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Portanto, as soluções para \(y\) são:
\[ y_1 = 3 \quad \text{e} \quad y_2 = -1 \]

Passo 4: Voltar para \(x\), temos:
\[ \log(x_1) = 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1000 \]
\[ \log(x_2) = -1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 0,1 \]

Passo 5: O produto das raízes é:
\[ x_1 \times x_2 = 1000 \times 0,1 = 100 \]

Portanto, o produto das raízes é \(100\).

Sabemos que a altura do cilindro é igual ao raio da base, ou seja, \(h = r\).

Passo 1: Fórmulas que vamos utilizar:

- Volume do cilindro:
\[ V = \pi r^2 h = \pi r^3 \]

- Área total do cilindro:
\[ A_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 4\pi r^2 \]

- Razão entre o volume e a área total:
\[ \frac{V}{A_{\text{total}}} = 2 \]
Substituindo as expressões para \(V\) e \(A_{\text{total}}\):
\[ \frac{\pi r^3}{4\pi r^2} = 2 \]
Simplificando:
\[ \frac{r}{4} = 2 \]
Multiplicando ambos os lados por 4:
\[ r = 8 \]

Passo 2: Calcular a área lateral:
A área lateral do cilindro é dada por:
\[ A_{\text{lateral}} = 2\pi r h = 2\pi r^2 \]
Substituindo \(r = 8\):
\[ A_{\text{lateral}} = 2\pi (8)^2 = 2\pi \times 64 = 128\pi \]

Portanto, a área lateral do cilindro é \(128\pi\) metros quadrados.

Sabemos que:
\[ 1 \, \text{litro} = 1 \text{dm}^3 = 1000 \, \text{cm}^3 \]

Portanto, a quantidade de vacina em cm³ é:
\[ 240 \, \text{litros} = 240 \times 1000 = 240.000 \, \text{cm}^3 \]

Agora, cada ampola tem capacidade de \(15 \, \text{cm}^3\). O número de ampolas necessárias é:
\[ \frac{240.000 \, \text{cm}^3}{15 \, \text{cm}^3} = 16.000 \]

Logo, o número de ampolas que serão utilizadas para a transferência é \(16.000\).

Passo 1: Volume da esfera
O volume de uma esfera de raio \(R\) é dado by:
\[ V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Passo 2: Volume do cone
O volume de um cone de raio da base \(R\) e altura \(h\) é:
\[ V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h \]
Como a altura também mede \(R\) metros (\(h = R\)), temos:
\[ V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3 \]

Passo 3: Calcular a razão
A razão entre o volume da esfera e o volume do cone é:
\[ \text{Razão} = \frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cone}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{1}{3} \pi R^3} \]

Passo 4: Simplificar a expressão
Cancelando os termos comuns \(\pi\) e \(R^3\):
\[ \text{Razão} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{1} = 4 \]

Portanto, a razão entre os volumes é 4. Gabarito: C

Passo 1: Reorganizar a equação na forma padrão
A equação dada é:
\[ 2x + b = x^2 - 2x - 4 \]
Subtraindo \(2x + b\) de ambos os lados:
\[ 0 = x^2 - 2x - 4 - 2x - b \]
\[ 0 = x^2 - 4x - (4 + b) \]
Portanto, a equação na forma \(ax^2 + bx + c = 0\) é:
\[ x^2 - 4x - (4 + b) = 0 \]
Onde:
\( a = 1 \)
\( b_{\text{coef}} = -4 \)
\( c = -(4 + b) \)

Passo 2: Calcular o discriminante \(\Delta\)
\[ \Delta = (b_{\text{coef}})^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-(4 + b)] \]
\[ \Delta = 16 + 4(4 + b) = 16 + 16 + 4b = 32 + 4b \]

Passo 3: Impor a condição para duas raízes reais distintas
Para duas raízes reais distintas, \(\Delta > 0\):
\[ 32 + 4b > 0 \]

Passo 4: Resolver a inequação
\[ 4b > -32 \]
\[ b > -8 \]

Portanto, a equação possui duas raízes reais distintas se e somente se \(b > -8\). Gabarito: B

Passo 1: Calcular a área total e a área de cada parte

O terreno é um quadrado de lado 42 m:
\[ \text{Área}_{\text{total}} = 42 \times 42 = 1764 \, \text{m}^2 \]
Cada herdeiro recebe um terreno de área igual:
\[ \text{Área}_{\text{cada}} = \frac{1764}{3} = 588 \, \text{m}^2 \]

Passo 2: Deduzir as dimensões dos retângulos
Observe na figura que as dimensões do terreno de Bruno são \( 42 m \times x m\) e, pela divisão, esse terreno tem 588 m². Logo,
\[ 42 \times x = 588 \implies x = \frac{588}{42} = 14 \, \text{m} \]

Passo 3: Calcular o perímetro do retângulo de Bruno
O retângulo de Bruno tem dimensões 42 m por 14 m. Seu perímetro \(P\) é:
\[ P = 2 \times (\text{largura} + \text{altura}) = 2 \times (42 + 14) = 2 \times 56 = 112 \, \text{m} \]

Portanto, o perímetro do terreno de Bruno é \(112 m\). Gabarito: D